Etwas poetisch ausgedrückt koennte man sagen, dass bei ewiger Wiederkehr des Gleichen ein jeder Augenblick den zeitlichen Ablauf der Geschichte so durchquert, dass sie irgendwann wieder auf ihn wartet. Alles oder doch Einiges wiederholt sich bis in alle Ewigkeit. Der Philosoph Friedrich Nietzsche (1844-1900) war ein Anhänger dieser Denkweise. Sein Argument war etwa dies: Das Universum ist endlich und enthält deshalb nur endlich viele Objekte. Doch wenn die Welt nur endlich viele Objekte enthält, dann gibt es auch nur endlich viele Ereignisse. Die Zeit ist aber unendlich, und deshalb müssen sich die Ereignisse irgendwann wiederholen.

Ein anderer Philosoph, Georg Simmel (1858-1918), bastelte im 20. Jahrhundert als Gegenargument das folgende Gedankenexperiment: Man nehme zwei gegeneinanderlaufende Räder, eines mit ganzzahligem Umfang, eines mit der Kreiszahl Pi als Umfang. Zwei anfangs auf den Rädern gegenüberliegend angebrachte Markierungen kommen aufgrund der Inkommensurabilität von ganzen Zahlen und irrationalen Zahlen nie wieder exakt zur Deckung. Für Simmel ein Gegenbeispiel gegen die ewige Wiederkehr des Gleichen. Es ist unklar, ob Nietzsche dieses im Kern mathematische Argument akzeptiert und sich geschlagen gegeben hätte, oder hätte er eingewendet, dass mit einer endlichen Anzahl diskreter Atome im Weltall kein Rad mit dem exakten Umfang Pi gebaut werden kann.

Wie ist es im Schach mit der ewigen Wiederkehr des Gleichen und mit potentiell unendlichen Schachpartien? Schon der frühere Schachweltmeister und professionelle Mathematiker Max Euwe (1901-1989) hat sich mit dieser Frage beschäftigt. Zu Euwes Zeiten wurden verschiedene Regeln diskutiert, die die Beendigung einer jeden Schachpartie in endlich vielen Zügen erzwingen sollten. Einer der diskutierten Vorschläge lautete so:

Eine Schachpartie endet Remis, wenn dieselbe Folge von Zügen, mit allen Figuren auf genau denselben Feldern, dreimal hintereinander vorkommt.

Es war dabei ganz unerheblich, aus wie vielen Zügen diese Zugfolge besteht.
Konkret fragte sich Euwe gegen Ende der 1920er Jahre, ob diese Regel Schach zu einem endlichen Spiel macht. Die Antwort ist Nein! Und er veröffentlichte seinen Gedankengang in der mathematischen Abhandlung Mengentheoretische Betrachtungen über das Schachspiel.

Der Kern seines Arguments besteht aus einer Zahlenfolge, die man nach den Mathematikern, die sie eingeführt, wiederentdeckt oder angewendet haben als Prouhet-Thue-Morse-Hedlund-Euwe-Folge bezeichnen könnte. Das Rezept zu ihrer Erzeugung sieht so aus: Beginnen Sie mit einer 0. Hängen Sie dann immer wieder an das jeweils schon vorhandene Teilstück die zu diesem Teilstück komplementäre Sequenz an; das ist diejenige Sequenz, bei der 0 und 1 vertauscht sind.

Im ersten Schritt besteht die komplementäre Folge natürlich nur aus der 1. Nach Anhängen erhalten wir 01. Dann müssen wir an dieses Paar die komplementäre Sequenz 10 anhängen und erhalten 0110. Und es geht so weiter: Komplementäre Sequenz 1001 bilden und anfügen resultiert in 01101001. Komplementäre Sequenz 10010110 bilden und anfügen … ad infinitum. Die so entstehende Folge hat außerordentlich interessante mathematische Eigenschaften: Unter anderem bewies Euwe, dass sie tripelfrei ist, d.h. es gibt keinen Abschnitt in der Folge, der dreimal hintereinander auftritt.

Was hat das mit Schach zu tun? Nun, Euwe konstruierte aus dieser Folge eine Schachpartie, indem er jede Ziffer 0 durch eine Sequenz von 4 Damenspringerzügen ersetzte und jede Ziffer 1 durch 4 Königsspringerzüge und zwar so:

Die Ziffer 0 ersetzen durch die Zugfolge Sb1-c3 Sb8-c6 Sc3-b1 Sc6-b8
Die Ziffer 1 ersetzen durch die Zugfolge Sg1-f3 Sg8-f6 Sf3-g1 Sf6-g8

Nach jeder dieser beiden Zugfolgen stehen alle Figuren wieder in der Anfangsstellung. Auf diese Weise umgewandelt entspricht also unsere oben konstruierte Folge 0110100110010110… der zugegebenermaßen nicht sehr aufregenden Partie, die mit den folgenden Zügen beginnt: 1.Sc3 Sc6 2.Sb1 Sb8 3.Sf3 Sf6 4.Sg1 Sg8 5.Sf3 Sf6 6.Sg1 Sg8 …

Der Zahlenfolge entspricht somit eine unendliche Schachpartie, in der sich aufgrund der angesprochenen Tripelfreiheit keine Zugfolge dreimal hintereinander wiederholt. Die vorgeschlagene Remis-Regel greift also nicht.

Aufgrund von Euwes Abhandlung wurde diese Remis-Regel von der FIDE seinerzeit nicht eingeführt, sondern stattdessen eine Regel, die auf dreimaliger Stellungswiederholung aufbaut. Nach dieser Regel kann der Spieler am Zug Remis reklamieren, wenn dreimal die gleiche Stellung auf dem Brett ist.

(Den ganzen Text können Sie in KARL 1/08 lesen.)